门纳劳斯定理

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门纳劳斯定理(Menelaus theorem)是关于共线点的一个重要定理,设X,Y,Z分别是△ABC三边BC,CA,AB或其延长线上的点,则它们共线的必要充分条件是(XB/XC)·(YC/YA)·(ZA/ZB)=1。门纳劳斯(Menelaus,(A))在《球面学》中证明了这个定理在球面三角形上的推广,可知他已经掌握了平面三角形的门纳劳斯定理,但是直到1678年,才由切瓦(G.Ceva)重新发现,并把它与自己发现的定理(切瓦定理)一起刊

如果△ABC三边BC,CA,AB与一直线各交于D,E,F(其中有一点是外分点,或三点都是外分点),则

门纳劳斯(Menelaus) 是三角学的奠基者。托勒密在《天文学大成》中记载了门纳劳斯的两次天文观测,时间在公元98年。普鲁塔克在书中描述门纳劳斯和人谈线年以后,地点在罗马或其附近。帕波斯和普鲁塔克都称他为亚历山大的门纳劳斯。由此可知门纳劳斯在公元100年前后活动于亚历山大及罗马。托勒密所记载的两次观测,一次是月亮掩(occultation) 角宿一(Spica, 室女座α),另一次是对比古代的记录,门纳劳斯再度证实希帕霍斯发现的岁差现象的存在

纳迪姆(Ibn al-Nadim,10 世纪下半叶)的《数学家名录》中列举了门纳劳斯的几种著作,但现在只有《球面学》(Sphaerica) 一种以阿拉伯文译本的形式流传下来,其余的均已失传。译者是伊沙格(Is hāq ibn Hunain, 910年卒)或他的父亲胡奈因(Hunain ibn Ishāq, 877年卒)。以后有几种修订本,现藏在莱顿大学图书馆。

当前较完整的现代语版本是布约恩博(Axel Anthon Björnbo)的德文译本(1902),以后又有克劳泽(Max Krause)的德文修订增补本。这是研究门纳劳斯的两种基本文献

《球面学》是广j纳劳斯的精心杰作,因此书中门纳劳斯被尊称为“三角学的奠基者”,而且是第一个使三角学脱离天文学,成为独立学科的人。

全书共3卷,卷Ⅰ开宗明义就给出球面三角形的定义:“在球面上由大圆弧所包围的部分”,又限定“这些弧都小于半圆”。这是世界上第一次对球面三角形的明确表达。写作的体例虽然仍遵循希腊的传统,但不拘泥于从最原始的定义出发,如球面上的点、极点、小圆、大圆等,而是直截了当指明要讨论的对象。前人已给出的概念和命题,此处作为已知来使用。

根据帕波斯的记载,门纳劳斯称球面三角形为“三边形”(three-side),以区别于平面几何中的三角形(triangle)。按阿拉伯文版本,他在献给某一位王子时宣称:“我发现了一种极好的推理证明方法。”这是可信的,球面三角的许多重要内容,都是门纳劳斯的独创。

卷Ⅰ的主要内容是比较球面与平面这两种三角形的异同,力图平行于欧几里得《几何原本》,建立相等的球面三角形命题。他尽量采用直接证法而避免用归谬法,有些命题的证明及讨论比《原本》更全面,因为《原本》中某些情形是有意留给读者自证的。

他给出与平面三角形类似的若干命题之后,也指出两者的差异。如球面三角形三内角之和并不等于两直角而是大于两直角。两平面三角形如各角对应相等只是相似而不一定全等,但两个球面三角形若各角相等则必定全等(或对称)。这是球面同平面明显的区别。

卷Ⅰ没有多少新鲜的内容,只是建立一些对天文学有用的命题,一般不超出西奥多修斯(Theodosius of Bithynia,公元前2世纪下半叶)《球面学》(Sphaerica)的范围,有些是加以推广,证明通常是冗长的。

卷Ⅰ、卷Ⅱ只牵涉到球面几何,卷Ⅲ才正式开展球面三角学的论述。第1个命题就是球面的“

”。现今在平面几何及射影几何中有平面的“门纳劳斯定理”,一般表述为:设X,Y,Z分别是△ABC三条边BC,CA,AB或其延长线上的点,则此三角形共线]

这命题不是门纳劳斯的发明,前人早已知道,它也许载在欧几里得已失传的《推论集》(Porisms)中。门纳劳斯在这里是作为已知来使用的。他自己所证明的是这命题在球面上的推广:设X,Y,Z分别是球面三角形ABC三条边BC,CA,AB或其延长线上的点,则此三点共大圆的充要条件是(图4):

以上是用现代的术语和符号来表达的,当时还没有三角函数,只有希帕霍斯的弦表,就是不同圆心角所对弦长的表,相当于现在圆心角之半的正弦线的两倍。门纳劳斯大概也造过这样的表。他用弦长来表示前面的关系式,实质上和正弦一样。

”是名正言顺的,由于平面的情形不知出处,后人就一并称之为“门纳劳斯定理”。它的另一种提法(平面情形)是:设一直线与三角形的三条边或其延长线相交,将三条边分(内分或外分)为六条线段,则三条没有公共端点的线段之积,等于另外三条线段之积。球面情形也有类似的说法,因为关系到六个量,在中世纪时常称为“六量律”(regula sex quantitatum)。在托勒密《天文学大成》中对平面及球面的情形都作了详细的证明

门纳劳斯从这个定理导出很多有用的结果。如命题2证明了两个球面三角形ABC与ABC,若A=A,C=C(或C与C互补),则

(依习惯,A,B,C角所对的边分别记作a,b,c)特别是C与C都是直角时,后来被称为“四量律”(regula quattuor quantitatum),在阿拉伯三角学中占有重要的地位。

命题5证明:若球面三角形ABC及ABC的C,C是直角,B=B,又a,a 都小于90°,则

在证明上述命题的过程中,门纳劳斯应用了非调和比(交比)的性质(图5):通过O点有4条大圆弧OAA,OBB,OCC,ODD,被任意两条大圆弧ABCD,ABCD所截,则

在平面上,有这样的定理:过一点的4条直线个交点的非调和比(即交比)与该截线的位置无关。推广于球面就有上面的关系,只要将直线变成大圆弧,线段变成圆弧的正弦即可。

还有好几个可以和平面类比的命题。如命题6:平分球面三角形ABC顶角,A的大圆弧交BC于D,则

命题11以后,又转到和天文有关的问题上去。以最后的命题15第一部分为例(图6):

设BA,BC是大圆弧的一个象限,P是BA的极点。PA₂,PA₁是过P点的象限弧,交BC于C

,C₁,R是球半径,r,r₁,r₂分别是过C,C₁,C₂三点的小圆(平行于大圆ABA)半径,则

这公式自然可以用来解决天球上各种圈(如赤道、黄道、白道等)之间的关系。

可以肯定,门纳劳斯已经掌握了球面三角学的基本原理。此外,他还研究过力学问题(据阿拉伯文献),写过《几何原理》,发现一种“奇特曲线”(the paradoxical curve),但都已失传

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